Contoh Soal Panjang Busur, Luas Juring, dan Tembereng

Contoh Soal 1

Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:

Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut

Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.

CD/AB = ∠COD / ∠AOB

CD /14 cm = 140°/35° 

CD = (140°/35°) x 14 cm

CD = 4  x 14 cm

CD = 56 cm

Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2

Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm².

Hitunglah

a. luas juring POQ;

b. jari-jari lingkaran;

c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:

a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini

Luas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ

50 cm²/ Luas POQ = 75°/60°

50 cm²/ Luas POQ = 1,25

Luas POQ = 50 cm²/1,25

Luas POQ = 40 cm²

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ

πr² /luas juring POQ = 360°/∠POQ

πr²/40 cm² = 360°/60°

πr²/40 cm² = 6

πr² = 40 cm² x 6

πr² = 240 cm²

r² = 240 cm²/(22/7)

r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB

luas lingkaran/50 cm²  = 360°/75°

luas lingkaran/50 cm²  = 4,8

luas lingkaran = 4,8 x 50 cm²  

luas lingkaran = 240 cm²  

atau dengan menggunakan rumus πr², maka:

πr² = (22/7) x (8,74 cm)

πr² = (22/7) x (76,3878 cm)²

πr² = 240 cm²

Contoh Soal 3

Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah

a. panjang busur di hadapan sudut 30°;

b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:

a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka:

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°

panjang AB/125,6 cm = 1/12

panjang AB = 125,6 cm/12

panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka:

luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

luas POQ /πr²= 45°/360°

luas POQ = (45°/360°) x πr²

luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)²

luas POQ = 157 cm²

Cara Cepat Menghitung Luas Tembereng

Ingat cara cepat ini hanya berlaku pada lingkaran yang memiliki sudut pusat 90° atau ¼ luas lingkaran.  Sekarang perhatikan contoh soal ini ya.

Pada gambar di atas, jika jari-jari lingkaran 14 cm, hitunglah luas tembereng AB!

Penyelesaian:

Cara lama (konsep dasar)

Luas lingkaran:

L = πr2

L = (22/7) . (14 cm)²

L = 616 cm²

Luas Juring AOB:

Luas juring/Luas lingkaran = sudut pusat/360°

Luas juring/616 cm² = 90°/360°

Luas juring/616 cm² = ¼

Luas juring = ¼ . 616 cm²

Luas juring = 154 cm²

luas ∆AOB

L = ½ . alas . tinggi

L = ½ . 14 cm . 14 cm

L = 98 cm²

Luas tembereng AB:

Luas tembereng = Luas juring – luas segitiga

Luas tembereng = 154 cm2– 98 cm²

Luas tembereng = 56 cm²

Jadi, luas tembereng AB adalah 56 cm²

Cara Cepat

Rumus:

Luas tembereng = (2/7)r²

Maka:

Luas tembereng = (2/7) . 14 cm . 14 cm  

Luas tembereng = 56 cm²

Jadi, luas tembereng AB adalah 56 cm²

Bagaimana? Mudah kan. Perlu diingat bahwa cara cepat ini berlaku untuk sudut pusat 90°. Untuk sudut-sudut yang besarnya selain 90°, akan Mafia Online posting cara cepatnya pada psotingan berikutnya. 

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai cara cepat menghitung luas tembereng, silahkan jawab soal di bawah ini. Ingat soal di bawah ini dapat dikerjakan dengan berbagai cara, gunakan konsep cara cepat menghitung luas tembereng.

Soal Tantangan 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Soal Tantangan 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir. 

Rumus Luas Juring dan Tembereng Lingkaran

Cara menghitung luas juring sangat penting untuk Anda kuasai karena hampir setiap tahunnya soal-soal luas juring keluar dalam ujian nasional UN.

Luas Juring

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari, kemudian ditarik garis OB sehingga terbentuk sudut pusat AOB (∠AOB) dengan luas juring AOB (L.AOB). Kemudian sudut pusat AOB diperbesar menjadi sudut pusat AOC dengan luas juring AOC (L.AOC). Dengan menggunakan konsep perbandingan senilai maka hubungan antara sudut pusat dengan luas juring, yakni:

∠AOB/∠AOC = L.AOB/L.AOC

Sekarang bagaimana kalau sudut pusat AOB dengan luas juring AOB diperbesar menjadi sudut pusat AOD dengan luas juring AOD? Maka akan berlaku:

∠AOB/∠AOD = L.AOB/L.AOD

Sekarang bagaimana kalau sudut pusat AOB dengan luas juring AOB diperbesar menjadi satu lingkaran penuh? Ingat sudut satu lingkaran penuh besarnya 360° dan luas juring untuk satu lingkaran penuh sama dengan luas lingkaran (L = πr²), maka akan berlaku:

∠AOB/∠ lingkaran = L.AOB/L.lingkaran

∠AOB/360° = L.AOB/πr²

∠AOB = (L.AOB/πr²)360°

atau

L.AOB = (∠AOB/360°)πr²

Jadi rumus mencari luas juring suatu lingkaran adalah:

Luas juring = (Sudut pusat/360°) x luas lingkaran.

atau

LJ = (α/360°) x πr²

dengan:

LJ = luas juring

α = sudut pusat

π = 22/7 atau 3,14

r = jari-jari lingkaran

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang luas juring lingkaran, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Lingkaran O di atas memiliki jari-jari 7 cm dan sudut pusat 120°. Hitunglah luas juring yang diarsir (berwana kuning) dan hitung juga luas daerah yang tidak diarsir!

Penyelesaian:

Luas juring yang diarsir:

LJ = (α/360°) x πr²

LJ = (120°/360°) x (22/7) x (7 cm)²

LJ = (1/3) x 154 cm²

LJ = 51,33 cm²

Untuk mencari luas daerah yang tidak diarsir harus dicari sudut pusatnya yakni:

α’ = sudut lingkaran – α

α’ = 360° – 120°

α’ = 240°

LJ = (α’/360°) x πr²

LJ = (240°/360°) x (22/7) x (7 cm)²

LJ = (2/3) x 154 cm²

LJ = (1/3) x 154 cm²

LJ = 102,67 cm²

Jadi, luas juring yang diarsir (berwana kuning) adalah 51,33 cm² dan luas daerah yang tidak diarsir adalah 102,67 cm²

Luas Tembereng

Syarat utama untuk menguasai konsep luas tembereng adalah cara mencari luas juring dan luas segitiga. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Daerah yang diarsir merupakan luas tembereng AB. Luas daerah yang diarsir tersebut dapat dicari dengan mengurangkan luas juring AOB dengan luas segitiga AOB. 

Secara umum luas tembereng dapat dirumuskan sebagai berikut:

LT = LJ – L∆

dengan:

LT = luas tembereng

LJ = luas juring

L∆ = luas segitiga

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang luas tembereng lingkaran, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Lingkaran O di atas memiliki jari-jari 7√3 cm dan sudut pusat 60°. Hitunglah luas tembereng (luas diarsir)!

Penyelesaian:

Luas juring AOB:

LJ = (α/360°) x πr²

LJ = (60°/360°) x (22/7) x (7√3 cm)²

LJ = (1/6) x 462 cm²

LJ = 77 cm²

Sekarang cari ∆AOB dengan cara cepat menghitung luas segitiga sama sisi, yakni:

L∆ = ¼r²√3

L∆ = ¼(7√3 cm)²√3

L∆ = 63,65 cm²

LT = LJ – L∆

LT = 77 cm² – 63,65 cm²

LT = 13,35 cm²

Jadi, luas tembereng (luas diarsir) adalah 13,35 cm²

Menghitung Luas Tembereng Jika Sudut Pusat Diketahui

Jika Anda sudah paham dengan ketiga konsep tersebut sekarang lanjut dengan cara mencari luas tembereng jika sudut pusat dan jari-jarinya diketahui. Silahkan perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan gambar sebuah lingkaran dengan pusat O yang memiliki jari-jari r. Terdapat juring AOB dengan sudut pusat α dan luas tembereng (daerah yang diarsir). Jadi untuk mencari daerah yang diarsir (luas tembereng) terlebih dahulu harus mencari luas juring AOB dan luas segitiga AOB.

Untuk mencari luas juring AOB dapat menggunakan rumus:

L.AOB = (α/360)πr²

Untuk mencari luas segitiga AOB dapat menggunakan rumus luas lingkaran dengan konsep trigonometri yakni:

L.Δ = ½ r² sin α

Sedangkan untuk mencari luas tembereng dapat menggunakan rumus berikut.

L = L.AOB – L.Δ

L = (α/360)πr² – ½ r² sin α

dengan:

α = sudut pusat

r = jari-jari lingkaran

π = 22/7 atau 3,14

Untuk memantapkan pemahaman Anda dalam hal menghitung luas tembereng jika sudut pusat dan jari-jari diketahui, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Hitunglah luas tembereng dari sebuah lingkaran dengan jari-jari 7 cm jika sudut pusatnya 60°.

Penyelesaian:

r = 7 cm

α = 60°

L = (α/360°)πr² – ½ r² sin α

L = (60°/360°)(22/7)7² – ½ .7² sin 60

L = 25,67 – 21,31

L = 4,36 cm²

Contoh Soal 2

Hitunglah luas tembereng jika sudut pusatnya 90° dengan jari-jari 7 cm.

Penyelesaian:

L = (α/360)πr² – ½ r² sin α

L = (90/360)(22/7)7² – ½ .7² sin 90°

(sin 90° = 1)

L = 38,5 – 24,5

L = 14 cm²

Untuk menghitung luas tembereng dengan sudut pusat 90° dapat menggunakan cara cepat menghitung luas tembereng yakni:

L = (2/7)r²

L = (2/7)(7 cm)²

L = 14 cm²

Demikian uraian singkat dari Mafia Online tentang cara menghitung luas tembereng jika sudut pusat dan jari-jari lingkaran diketahui. Mohon maaf jika ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini