Minggu, 11 Oktober 2015

Contoh Soal Panjang Busur, Luas Juring, dan Tembereng

Contoh Soal 1
Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga AOB = 35° dan COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:
Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut
Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.
CD/AB = COD / AOB
CD /14 cm = 140°/35° 
CD = (140°/35°) x 14 cm
CD = 4  x 14 cm
CD = 56 cm
Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2
Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2.
Hitunglah
a. luas juring POQ;
b. jari-jari lingkaran;
c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:
a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini
Luas AOB/Luas POQ = AOB /POQ
50 cm2/ Luas POQ = 75°/60°
50 cm2/ Luas POQ = 1,25
Luas POQ = 50 cm2/1,25
Luas POQ = 40 cm2

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:
luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ
πr2 /luas juring POQ = 360°/POQ
πr2/40 cm2 = 360°/60°
πr2/40 cm2 = 6
πr2 = 40 cm2 x 6
πr2 = 240 cm2
r2 = 240 cm2/(22/7)
r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:
luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB
luas lingkaran/50 cm2  = 360°/75°
luas lingkaran/50 cm2  = 4,8
luas lingkaran = 4,8 x 50 cm2  
luas lingkaran = 240 cm2  

atau dengan menggunakan rumus πr2, maka:
πr2 = (22/7) x (8,74 cm)
πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2
πr2 = 240 cm2

Contoh Soal 3
Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah
a. panjang busur di hadapan sudut 30°;
b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:
a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = AOB maka:
panjang AB/keliling lingkaran = AOB/∠ 1 lingkaran
panjang AB/2πr = AOB/360°
panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°
panjang AB/125,6 cm = 1/12
panjang AB = 125,6 cm/12
panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = POQ maka:
luas POQ /luas lingkaran = POQ/∠ 1 lingkaran
luas POQ /πr245°/360°
luas POQ = (45°/360°) x πr2
luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2
luas POQ = 157 cm2

Cara Cepat Menghitung Luas Tembereng

Ingat cara cepat ini hanya berlaku pada lingkaran yang memiliki sudut pusat 90° atau ¼ luas lingkaran.  Sekarang perhatikan contoh soal ini ya.
Pada gambar di atas, jika jari-jari lingkaran 14 cm, hitunglah luas tembereng AB!

Penyelesaian:
Cara lama (konsep dasar)
Luas lingkaran:
L = πr2
L = (22/7) . (14 cm)2
L = 616 cm2

Luas Juring AOB:
Luas juring/Luas lingkaran = sudut pusat/360°
Luas juring/616 cm2 = 90°/360°
Luas juring/616 cm2 = ¼
Luas juring = ¼ . 616 cm2
Luas juring = 154 cm2

luas ∆AOB
L = ½ . alas . tinggi
L = ½ . 14 cm . 14 cm
L = 98 cm2

Luas tembereng AB:
Luas tembereng = Luas juring – luas segitiga
Luas tembereng = 154 cm2– 98 cm2
Luas tembereng = 56 cm2

Jadi, luas tembereng AB adalah 56 cm2

Cara Cepat
Rumus:
Luas tembereng = (2/7)r2

Maka:
Luas tembereng = (2/7) . 14 cm . 14 cm  
Luas tembereng = 56 cm2
Jadi, luas tembereng AB adalah 56 cm2

Bagaimana? Mudah kan. Perlu diingat bahwa cara cepat ini berlaku untuk sudut pusat 90°. Untuk sudut-sudut yang besarnya selain 90°, akan Mafia Online posting cara cepatnya pada psotingan berikutnya. 


Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai cara cepat menghitung luas tembereng, silahkan jawab soal di bawah ini. Ingat soal di bawah ini dapat dikerjakan dengan berbagai cara, gunakan konsep cara cepat menghitung luas tembereng.


Soal Tantangan 1
Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Soal Tantangan 2
Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir. 

Rumus Luas Juring dan Tembereng Lingkaran

Cara menghitung luas juring sangat penting untuk Anda kuasai karena hampir setiap tahunnya soal-soal luas juring keluar dalam ujian nasional UN.

Luas Juring
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari, kemudian ditarik garis OB sehingga terbentuk sudut pusat AOB (AOB) dengan luas juring AOB (L.AOB). Kemudian sudut pusat AOB diperbesar menjadi sudut pusat AOC dengan luas juring AOC (L.AOC). Dengan menggunakan konsep perbandingan senilai maka hubungan antara sudut pusat dengan luas juring, yakni:
AOB/AOC = L.AOB/L.AOC

Sekarang bagaimana kalau sudut pusat AOB dengan luas juring AOB diperbesar menjadi sudut pusat AOD dengan luas juring AOD? Maka akan berlaku:
AOB/AOD = L.AOB/L.AOD

Sekarang bagaimana kalau sudut pusat AOB dengan luas juring AOB diperbesar menjadi satu lingkaran penuh? Ingat sudut satu lingkaran penuh besarnya 360° dan luas juring untuk satu lingkaran penuh sama dengan luas lingkaran (L = πr2), maka akan berlaku:
AOB/ lingkaran = L.AOB/L.lingkaran
AOB/360° = L.AOB/πr2
AOB = (L.AOB/πr2)360°
atau
L.AOB = (AOB/360°)πr2

Jadi rumus mencari luas juring suatu lingkaran adalah:
Luas juring = (Sudut pusat/360°) x luas lingkaran.
atau
LJ = (α/360°) x πr2

dengan:
LJ = luas juring
α = sudut pusat
π = 22/7 atau 3,14
r = jari-jari lingkaran

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang luas juring lingkaran, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini.

Lingkaran O di atas memiliki jari-jari 7 cm dan sudut pusat 120°. Hitunglah luas juring yang diarsir (berwana kuning) dan hitung juga luas daerah yang tidak diarsir!

Penyelesaian:
Luas juring yang diarsir:
LJ = (α/360°) x πr2
LJ = (120°/360°) x (22/7) x (7 cm)2
LJ = (1/3) x 154 cm2
LJ = 51,33 cm2

Untuk mencari luas daerah yang tidak diarsir harus dicari sudut pusatnya yakni:
α’ = sudut lingkaran – α
α’ = 360° – 120°
α’ = 240°

LJ = (α’/360°) x πr2
LJ = (240°/360°) x (22/7) x (7 cm)2
LJ = (2/3) x 154 cm2
LJ = (1/3) x 154 cm2
LJ = 102,67 cm2

Jadi, luas juring yang diarsir (berwana kuning) adalah 51,33 cm2 dan luas daerah yang tidak diarsir adalah 102,67 cm2


Luas Tembereng
Syarat utama untuk menguasai konsep luas tembereng adalah cara mencari luas juring dan luas segitiga. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Daerah yang diarsir merupakan luas tembereng AB. Luas daerah yang diarsir tersebut dapat dicari dengan mengurangkan luas juring AOB dengan luas segitiga AOB. 
Secara umum luas tembereng dapat dirumuskan sebagai berikut:
LT = LJ – L∆

dengan:
LT = luas tembereng
LJ = luas juring
L∆ = luas segitiga

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang luas tembereng lingkaran, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2
Perhatikan gambar di bawah ini.

Lingkaran O di atas memiliki jari-jari 7√3 cm dan sudut pusat 60°. Hitunglah luas tembereng (luas diarsir)!

Penyelesaian:
Luas juring AOB:
LJ = (α/360°) x πr2
LJ = (60°/360°) x (22/7) x (7√3 cm)2
LJ = (1/6) x 462 cm2
LJ = 77 cm2

Sekarang cari ∆AOB dengan cara cepat menghitung luas segitiga sama sisi, yakni:
L∆ = ¼r2√3
L∆ = ¼(7√3 cm)2√3
L∆ = 63,65 cm2

LT = LJ – L∆
LT = 77 cm2 – 63,65 cm2
LT = 13,35 cm2

Jadi, luas tembereng (luas diarsir) adalah 13,35 cm2